Derivadas
Buenas noches, que debo aprender antes, para poder entender las derivadas? No entiendo nada y quiero aprender, quien me puede ayudar?
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Re: Derivadas
Enviado el 29-10-2017 17:30:19
Normalmente en los problemas prácticos se usan las derivadas para hallar valores máximos o mínimos. Lo primero que hay que hacer es identifcar cuál es la variable (la x) y cual la función (la y). Una vez obtenida una expresión del tipo general y=f(x), a partir del enunciado del problema, pues se trata de encontrar los máximos y/o mínimos de esta función.
Un ejemplo clásico.
Hallar el volumen máximo de una caja formada a partir de un lámina plana cuadrada. La forma de construir la caja es la siguiente: cortamos un cuadradito en cada esquina de la lámina y luego doblamos para formar la caja (evidentemente sin tapa)
Está claro que el volumen de la caja sería la función (la y) que depende del corte cuadrado que le demos a la lámina en sus 4 esquinas (el lado del cuadrado sería la variable, la x). A priori podemos ver que el volumen pasa de un valor mínimo cero cuando x=0 (lámina inicial), pasará por un valor máximo que hemos de hallar, y volverá a tener de nuevo un valor mínimo V=0 cuando el corte en las esquinas sea tan grande que nos quedemos sin lámina.
El problema se resolvería así:
V: volumen caja
x: lado del cuadrado que cortamos en cada esquina
L: lado de la lámina cuadrada
V = base x altura = (L-2x)*2 x
pues la base es (L - 2x)*2 y la altura es x. Quitando el paréntesis:
V= 4x*3 - 4Lx*2 + L*2x
Derivando V
V' = 12x*2 - 8Lx + L*2
cuyos ceros son para x=1/2 L (el valor con el que nos quedamos sin caja, volumen mínimo 0) y x= 1/6 L. Este último es el valor que hace máximo V, (pues V''(1/6 L) <0). Sustituyendo se obtiene Vmáx = 41/576 L*3
Un ejemplo clásico.
Hallar el volumen máximo de una caja formada a partir de un lámina plana cuadrada. La forma de construir la caja es la siguiente: cortamos un cuadradito en cada esquina de la lámina y luego doblamos para formar la caja (evidentemente sin tapa)
Está claro que el volumen de la caja sería la función (la y) que depende del corte cuadrado que le demos a la lámina en sus 4 esquinas (el lado del cuadrado sería la variable, la x). A priori podemos ver que el volumen pasa de un valor mínimo cero cuando x=0 (lámina inicial), pasará por un valor máximo que hemos de hallar, y volverá a tener de nuevo un valor mínimo V=0 cuando el corte en las esquinas sea tan grande que nos quedemos sin lámina.
El problema se resolvería así:
V: volumen caja
x: lado del cuadrado que cortamos en cada esquina
L: lado de la lámina cuadrada
V = base x altura = (L-2x)*2 x
pues la base es (L - 2x)*2 y la altura es x. Quitando el paréntesis:
V= 4x*3 - 4Lx*2 + L*2x
Derivando V
V' = 12x*2 - 8Lx + L*2
cuyos ceros son para x=1/2 L (el valor con el que nos quedamos sin caja, volumen mínimo 0) y x= 1/6 L. Este último es el valor que hace máximo V, (pues V''(1/6 L) <0). Sustituyendo se obtiene Vmáx = 41/576 L*3
