Ecuaciones exponenciales
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Lección 23 Índice
Ecuación exponencial
Oir Lecc.
La ecuación exponencial entra dentro del grupo de ecuaciones no polinómicas. En ella la incógnita aparece en el exponente.
Veamos algunos ejemplos:
Para resolver las ecuaciones exponenciales hay diversos métodos:
a) Operar con la ecuación para conseguir que los dos miembros de la ecuación tengan la misma base.
Si:
Al tener la misma base igualamos los exponentes:
x + 1 = 3
b) Aplicar logaritmos:
Aplicamos logaritmos de la misma base a ambos miembros de la ecuación:
Y ya podemos resolver como una ecuación polinómica.
c) Cambio de incógnita: este método se suele utilizar cuando la ecuación es más compleja.
Hacemos un cambio de variable:
Por lo que:
La ecuación quedaría:
Y la resolveríamos como una ecuación polinómica. Una vez calculada la raíz “y” de esta ecuación, calcularíamos “x” aplicando su relación de equivalencia.
En todo caso, cuando el alumno se enfrenta a la resolución de una ecuación exponencial a veces debe operar previamente, transformando la ecuación, simplificándola, antes de poder aplicar alguno de los métodos anteriores.
Veamos diversos ejemplos:
a) Ejemplos de ecuaciones resueltas aplicando el método de igualar las bases y/o el método de aplicar logaritmos.
1er ejemplo
1.1. Igualando las bases:
Al tener la misma base igualamos los exponentes:
Comprobamos en la ecuación original si esta solución satisface la igualdad:
Por lo tanto la solución hallada (x1 = 1) es solución de la ecuación inicial.
1.2. Aplicando logaritmos:
Aplicamos logaritmos de la misma base a ambos miembros de la ecuación.
2º ejemplo
2.1. Igualando las bases:
Operamos tratando de buscar que tengan la misma base en ambos miembros:
Al tener la misma base igualamos los exponentes:
Comprobamos en la ecuación original si esta solución satisface la igualdad:
Por lo tanto la solución hallada (x1 = -2,5) es solución de la ecuación inicial.
2.2. Aplicando logaritmos:
Aplicamos logaritmos de la misma base a ambos miembros de la ecuación.
3er ejemplo
Luego:
Al tener la misma base igualamos los exponentes:
Y seguimos operando:
Comprobamos en la ecuación original si esta solución satisface la igualdad:
Por lo tanto la solución hallada (x1 = 3,25) es solución de la ecuación inicial.
4º ejemplo
4.1. Igualando las bases:
En primer lugar vamos a operar con la ecuación para tratar de tener la misma base en ambos miembros.
Si nos fijamos en el miembro de la derecha podemos ver:
Comprobamos en la ecuación original si esta solución satisface la igualdad:
Por lo tanto la solución hallada (x1 = -0,4286) es solución de la ecuación inicial.
5º ejemplo
5.1. Igualando las bases:
En primer lugar vamos a operar con la ecuación para tratar de tener la misma base en ambos miembros.
Si nos fijamos en el miembro de la derecha podemos ver:
Aplicando una propiedad de la potencia tenemos:
Sustituyendo en la ecuación inicial:
Con esta transformación hemos conseguido tener la misma base en ambos miembros de la ecuación, por lo que podemos igualar los exponentes:
7x - 2 = -3
7x = -1
x1 = -1 / 7 = -0,1429
Comprobamos en la ecuación original si esta solución satisface la igualdad:
Por lo tanto la solución hallada (x1 = -0,1429) es solución de la ecuación inicial.
6º ejemplo
6.1. Igualando las bases:
Luego:
Al tener la misma base igualamos los exponentes:
Y seguimos operando:
Comprobamos en la ecuación original si esta solución satisface la igualdad:
Por lo tanto la solución hallada (x1 = -13) es solución de la ecuación inicial.
7º ejemplo
7.1. Aplicando logaritmos:
Luego:
De dónde sale el 1 y por qué .
